Фамилия Изыгашев — один из тех редких случаев, когда корень слова почти наверняка ведёт в тюркские языки, а географическая привязка сужает круг поиска до Сибири. Основа «изыгаш» (или «ызыгаш») в ряде тюркских наречий, особенно в хакасском и шорском, означает «мелкий кустарник», «поросль», «ивняк». Человек, получивший такое прозвище, мог жить в заросшей кустарником местности — отсюда и пошло именование по характерному признаку двора или урочища. Модель образования типична для русского освоения тюркских основ: к прозвищу Изыгаш добавили притяжательный суффикс -ев, получив буквально «сын Изыгаша» или «из семьи Изыгашевых».

Суффикс -ев, а не -ов, указывает на основу, оканчивающуюся на мягкий или шипящий согласный (в исходном слове «ш»). Сама фамилия — нечастая; её концентрация заметна в Хакасии, на юге Красноярского края и в Кемеровской области. Это совпадает с ареалом хакасов, шорцев и других тюркских народов Саяно-Алтая, у которых слово «ызыгаш» бытует в живой речи до сих пор. Вероятно, предки Изыгашевых были из числа коренных сибирских тюрков, а фамилия закрепилась за ними в XIX–XX веках при переходе на русское делопроизводство и метрические книги.

Вторая, менее вероятная версия связывает основу с личным именем Изыгаш — такое имя могло существовать как охранительное, данное ребёнку, чтобы «отвести» от него злых духов (по тюркской традиции давать неблагозвучные имена). Однако в доступных ономастических справочниках это имя не фиксируется, поэтому версия с прозвищем по месту жительства выглядит убедительнее. Фамилия не имеет отношения к русскому слову «изгага» (изжога) или «изыск» — это случайное звуковое совпадение.

По сословному происхождению Изыгашевы, скорее всего, были крестьянами или казаками, так как фамилии с тюркской основой в Сибири чаще всего получали простые общинники, а не дворяне. Дворянские же роды с таким корнем в «Бархатной книге» и других родословных списках не значатся. Если вам встречались Изыгашевы, почти наверняка их предки жили в таёжной или лесостепной зоне Южной Сибири, где кустарниковые заросли — обычный элемент ландшафта.