Фамилия Кантышевы — редкий случай, когда основа ясна, а географическая привязка сужает круг поиска предков почти до одного региона. Разбирать её стоит не через корень, а через суффикс: перед нами не «Кантыш-ев», а «Кантыш-ев». Суффикс -ев, а не -ов, указывает на основу, которая заканчивалась на мягкий согласный или шипящий. В фамилиях на -ев часто скрываются прозвища или профессии, реже — крестильные имена.

Основа «Кантыш» — это, скорее всего, прозвище. В русских говорах и в украинском языке «кантыш» или «кантюк» означало мешок, кошель, иногда — бродягу или нищего, который носит с собой пожитки в мешке. Прозвище могли дать человеку небогатому, странствующему или тому, кто шил мешки и торговал ими. Вторая, менее распространённая версия, связывает «Кантыша» с тюркским именем Кантыш (от «кан» — кровь, «тыш» — внешний, буквально «кровный родственник»), но для фамилии, бытующей в центральной России, это маловероятно.

Главная зацепка — география. Фамилия Кантышевы почти не встречается за пределами трёх областей: Пензенской, Ульяновской и, реже, Саратовской. Это бывшая территория Пензенской губернии, где в XVIII–XIX веках жили государственные крестьяне и однодворцы. Если ваши предки — Кантышевы, ищите их в метрических книгах сёл Городищенского, Саранского или Кузнецкого уездов. Сословно это почти наверняка крестьяне, а не дворяне: дворянских родов с такой фамилией в гербовниках нет.

Словообразовательная модель проста: прозвище Кантыш плюс патронимический суффикс -ев, означающий «чей?» — «сын Кантыша». Со временем суффикс застыл, и фамилия перестала означать родство, став родовым именем. Интересно, что в документах XIX века встречается вариант написания «Кантышев» и реже «Контышев» — с буквой «о» под влиянием акающего произношения. Это не отдельная фамилия, а орфографическая вариация.

Если коротко: Кантышевы — потомки человека по прозвищу Кантыш (мешок, сума), жившего в Пензенской губернии среди государственных крестьян. Фамилия не знатная, но редкая и территориально компактная, что упрощает поиск корней.