Фамилия Кашелик — редкий случай, когда прозвище, скорее всего, перешло в фамилию без изменений, с сохранившимся суффиксом -ик. Это «прозвищная» модель, характерная для западнорусских, украинских и белорусских земель, где суффикс -ик выполнял уменьшительную или принадлежную функцию. Если бы фамилия образовывалась от отчества (например, от имени Кашей), она звучала бы как Кашеев или Кашенков. А здесь — Кашелик, то есть «маленький Кашель» или «сын Кашеля».

Основа — слово «кашель». Прозвище Кашель давали человеку с хриплым голосом, с хроническим кашлем или, в переносном смысле, тому, кто надоедал, «кашлял» под руку. В старину такие бытовые прозвища по физическим особенностям были обычным делом: Хрипун, Гнусавый, Сопля. Кашелик, таким образом, — либо потомок такого человека, либо человек, которого за малый рост или молодость называли «маленьким кашлем».

Версия о связи с тюркским или еврейским корнем (например, от «кошель» или «кашер») маловероятна. Фонетика фамилии чёткая: корень «каш-» и суффикс «-ель» дают прямое указание на кашель. В польской ономастике встречается фамилия Kaszelik, что подтверждает западнославянское происхождение.

Социально фамилия могла принадлежать крестьянам или мещанам. В дворянские роды такие прозвища попадали редко — для этого требовалась русификация через суффиксы -ов или -ский. Кашелик остался в своей исходной, простонародной форме. Географически фамилия встречается в Гродненской, Брестской областях Беларуси и в приграничных районах Польши, что совпадает с ареалом прозвищ на -ик.

Если ваши предки носили эту фамилию, они, скорее всего, происходят из западнорусских или белорусских земель, а родоначальник получил прозвище по характерной хрипоте или привычке покашливать. Других версий, подкреплённых лингвистикой, у фамилии нет.