Фамилия Кайнайзис — редкий случай, когда происхождение читается почти буквально. Это греческая фамилия, и её основа — греческое слово «καινός» (кенос), что значит «новый». Суффикс «-изис» (в греческом написании -ησις или -ισις) — типичный для греческих фамилий, образованных от прилагательных или прозвищ: он указывает на принадлежность или свойство. Так, Кайнайзис — это буквально «Новый», «Новенький» или «Тот, кто обновился».

Скорее всего, фамилия возникла как прозвище. В греческой среде «новым» могли назвать пришлого человека, который только что поселился в селении, или младшего сына в семье (как «новый побег»). Реже — человека, который пережил серьёзную перемену в жизни, например, после болезни или переезда. В отличие от славянских фамилий на -ов/-ев, греческие модели не привязывают носителя к отцу или месту, а описывают его самого.

Географически фамилия Кайнайзис почти наверняка связана с греческим миром — скорее всего, с материковой Грецией или островами. В России и странах бывшего СССР она встречается крайне редко, в основном у потомков греческих переселенцев (например, понтийских греков, которые в XIX–XX веках переезжали на юг Российской империи). В самой Греции фамилия не массовая, но известна — её можно найти в записях XIX века.

В написании возможна путаница с похожими греческими фамилиями: Кайнакис, Кайнарис. Но суффикс «-изис» выдает именно Кайнайзис — он характерен для южного Пелопоннеса и некоторых островов, где окончание -ισις сохранилось в диалектах. Так что, если ваши предки носили эту фамилию, они, скорее всего, происходят из определённого региона, где такой способ словообразования был в ходу.

Сословно фамилия не указывает на знатность — это прозвищная, «народная» фамилия, которую могли дать крестьянину, ремесленнику или торговцу. В греческих церковных книгах XIX века такие фамилии записывали как есть, без приставок и дворянских частиц.