Фамилия Кайнина — женская форма, образованная по простой и прозрачной модели: к основе мужской фамилии Кайнин добавили окончание -а. Сама же мужская версия Кайнин — типичная «владельческая» фамилия, отвечающая на вопрос «чей?». Она возникла от прозвища или имени Кайня, а тот корень, что лежит в основе, заставляет задуматься.

Самый прямой путь — от слова «кайна» или «кайно». В русских говорах, особенно северных и сибирских, «кайна» — это «плата за проезд», «подать», «оброк». В некоторых диалектах так называли скупость или скряжничество. В таком случае прозвище Кайня могли дать либо прижимистому, либо, наоборот, сборщику податей или человеку, который взимал плату за перевоз. Вторая версия, менее бытовая, но тоже возможная: имя Кайня могло быть уменьшительной формой от крестильного имени Иннокентий (через народное Кеня, Кайня). Такое сокращение встречается в северных и сибирских говорах, где Иннокентий превращался в Кеню, а потом и в Кайню.

Обратите внимание на суффикс -ин. В русской ономастике он указывает на принадлежность: Кайнин — сын Кайни. Это значит, что родоначальник фамилии был известен в своей общине именно под этим прозвищем или именем. Фамилия не дворянская и не княжеская, а скорее крестьянская или мещанская — такие «патронимические» фамилии на -ин массово закреплялись за простыми людьми в XIX веке, особенно в северных и центральных губерниях.

Географически фамилия Кайнины встречается в Вологодской, Архангельской областях и в Пермском крае — то есть там, где были сильны северные говоры и где «кайна» как слово бытовало. Если ваши предки оттуда, то версия с податью или оброком наиболее правдоподобна. Если же из центральной России — скорее всего, перед нами сокращение от Иннокентия.

В любом случае, фамилия редкая, не из списка самых распространённых, и это делает её более ценной для генеалогического поиска: чем реже фамилия, тем точнее можно привязать её к конкретной местности и роду.