Фамилия Кайпоксина — редкий случай, когда географический адрес оказывается важнее, чем этимология корня. Она почти наверняка происходит от названия реки Кайпокса в Архангельской области, правого притока Северной Двины. В бассейне этой реки издавна жили поморы и коми-зыряне. Если ваш предок носил прозвище Кайпокса или получил фамилию по месту жительства (типичная северная модель), то он был выходцем с берегов этой реки — рыбаком, охотником или крестьянином, приписанным к тамошнему погосту.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Кайпоксина — «дочь/жена Кайпоксы» или «из рода Кайпоксы». В русской ономастике фамилии на -ин чаще всего образуются от основ на -а/-я, что здесь и происходит. Форма женского рода (Кайпоксина) дана в запросе, но мужской вариант — Кайпоксин — строится по тому же правилу.

Что касается самого гидронима Кайпокса, здесь начинается область предположений. Корень «кай» может восходить к финно-угорским языкам (сравните с карельским «kajava» — чайка, или коми «кай» — птица). Вторая часть «-покса» встречается в других северных названиях (например, река Покса) и может означать «протока» или «рукав». Таким образом, Кайпокса — это, скорее всего, «Птичья протока» или «река, где много чаек». Но это реконструкция, а не твёрдая этимология.

Важная деталь: фамилия Кайпоксин/Кайпоксина практически не встречается за пределами Архангельской области и соседних районов Вологодчины. Если вы встретили её в другом регионе, велика вероятность, что носитель — потомок переселенцев с Русского Севера, уехавших в Сибирь или Петербург в XIX–XX веках. Сословно это почти наверняка государственные крестьяне или мещане: дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано.

В словарях фамилия отсутствует — ни у Унбегауна, ни у Никонова её нет, что подтверждает её локальный и поздний характер. Она могла закрепиться только в XIX веке, когда крестьянам массово давали фамилии по названиям деревень и рек. Однокоренных фамилий, кроме Кайпокин (от той же реки, но через другой суффикс), практически нет — это делает Кайпоксину уникальным маркером именно архангельского происхождения.