Фамилия Хаидрага — редкий случай, когда написание почти полностью совпадает с исходным словом, но само это слово на слух кажется незнакомым. В основе фамилии лежит арабское имя Хайдар (или Хайдар), что значит «лев». В тюркских языках, особенно у крымских татар, это имя давали мальчикам, желая им силы и отваги. Вторая часть фамилии — «ага» — тюркское обращение или титул, означающий «господин», «старший», «почтенный человек». Таким образом, Хаидрага — это не просто «сын Хайдара», а скорее «господин Хайдар» или «почтенный Хайдар», что указывает на уважительное прозвище, которое закрепилось за главой рода.

Словообразовательная модель фамилии нестандартна для русского языка. В ней нет привычных суффиксов -ов, -ин или -ский, которые превращали бы имя в фамилию. Вместо этого мы видим прямое заимствование устойчивого словосочетания (имя + титул) из тюркской традиции. Такие фамилии характерны для народов Северного Кавказа и Закавказья, где арабские имена смешались с местными социальными маркерами. Скорее всего, предок носителя фамилии был видным человеком в своей общине — старейшиной, воином или торговцем, которого в округе знали именно как Хаидрагу.

Фамилия могла претерпеть фонетические изменения при записи в российских документах. В оригинале имя звучало как Хайдар-ага, но при паспортизации XIX–XX веков безударный звук «й» мог выпасть, а долгое «а» — сократиться. Встречаются варианты написания «Хайдарага» или «Хайдер-ага», но форма Хаидрага закрепилась, вероятно, в среде крымских татар или у народов Дагестана, где такие стяжения — обычное дело.

Из-за редкости фамилии точную географию бытования установить трудно. Вероятнее всего, корни ведут в Крым, на Северный Кавказ или в Азербайджан. В российской исторической ономастике фамилия не исследована отдельно, но по аналогии с фамилиями типа Алиага, Мамедага можно уверенно говорить о её тюрко-арабском происхождении. Носители фамилии сегодня, скорее всего, сохраняют связь с исламской культурой и тюркскими языками, хотя сама фамилия уже давно адаптирована к русской грамматике (склоняется как существительное мужского рода на -а: Хаидраги, Хаидраге).