Фамилия Хайдрага — редкая и структурно прозрачная, но её происхождение неочевидно без учёта суффикса. Основа «Хайдр-» явно отсылает к греческому слову «гидра» (вода, влага, а в мифологии — многоголовая змея). Но суффикс «-ага» нехарактерен для славянских фамилий: он типичен для тюркских языков (сравните «Хайдарага», «Ага» — господин, старший). Поэтому версия о чисто греческом корне, как в фамилии Гидро́в, отпадает: в русской среде такое окончание не встречается.

Скорее всего, фамилия сложная: первая часть — от тюркского имени Хайдар (лев, могучий) или арабского Хайдар (тот же смысл), вторая — «ага» (господин, уважаемый человек). Вместе «Хайдрага» могла означать «господин Хайдар» или «старший Хайдар» — так называли уважаемого человека в тюркской среде (крымские татары, ногайцы, народы Кавказа). Суффикс «-а» мог прирасти при русификации: в документах XIX века фамилии вроде Хайдарага записывали на слух как Хайдрага.

Третья версия — прозвище по профессии или внешности. В диалектах русского Севера «хайдрить» означало «кричать, шуметь», а «га» — возможное искажение «гай» (лес, роща). Но это натяжка: нет подтверждений, что такая основа бытовала в фамилиях. Географически фамилия Хайдрага встречается единично — в основном на юге России и в Крыму, что подтверждает тюркскую версию.

Сословно предки Хайдрага могли быть из татарских мурз или зажиточных крестьян, получивших фамилию при переписи. Сейчас носители редки, и фамилия не входит в сотни тысяч распространённых. Её уникальность — в слиянии восточного имени и титула в одну фамилию, что для русской ономастики необычно.