Фамилию Халивенков стоит разбирать с суффикса -енков. Это не самая частая модель: обычно фамилии на -ов/-ев и -ин. Суффикс -енков (и его вариант -енко) характерен для украинской и южнорусской традиции, особенно для территории бывшего Черниговского и Полтавского регионов. Так что предки носителя фамилии, скорее всего, выходцы с юга России или Украины, которые позже оказались в великорусских губерниях, где фамилию «обкатали» под местное произношение.

Основа фамилии — Халивенко, то есть «сын Халивена». А само личное имя или прозвище Халивен, в свою очередь, восходит к имени Халив. Это сокращённая форма от канонического крестильного имени Фалалей (греч. Thalelaios — «цветущая маслина»). В народном произношении начальное «Ф» часто заменялось на «Х» (ср. Хома вместо Фома, Хведор вместо Фёдор), а «л» в середине слова могло смягчаться. Так Фалалей превращался в Халив, а от него — Халивенко.

Есть и вторая, менее вероятная, версия. В некоторых говорах «халива» означало нечто пустое, никчёмное (от «халить» — портить, пустословить). Но для фамилии это редкий случай, и подкреплён он хуже: прозвища с таким корнем почти не встречаются в документах. Основная линия — церковное имя, прошедшее через народную обработку.

Суффикс -енков указывает на родство: Халивенков — «чей?» — Халивенков, то есть из семьи Халивенко. Такая модель активно действовала в XVI–XVII веках, когда фамилии только закреплялись. Сословной принадлежности по фамилии не определить: её могли носить и крестьяне, и казаки, и мещане — всё зависело от того, в какой среде застала фиксация фамилии.

В итоге: фамилия Халивенков — это «русифицированный» вариант украинской фамилии, образованной от народной формы крестильного имени Фалалей. Географически её стоит искать в областях, граничащих с Украиной, — Курской, Воронежской, Белгородской, а также в местах переселения крестьян в XIX веке.