Фамилия Хаяурий — настолько редкая, что её носители, скорее всего, могут пересчитать друг друга по пальцам. В официальных базах данных и массовых справочниках она почти не встречается, что делает её разбор делом сугубо гипотетическим, основанным на словообразовательной логике и возможных языковых источниках.

Самый вероятный путь — искусственное происхождение. Фамилия могла быть образована в XX веке, когда в паспортных столах или при переписях фиксировали прозвища или прозвания, не укладывавшиеся в стандартные русские модели. Окончание -ий (а не -ый, -ой или -ев) наводит на мысль о кальке с иноязычных фамилий, например, грузинских или армянских, где суффикс -ури указывает на принадлежность к местности или роду занятий. В грузинском языке суффикс -ури (-ური) образует прилагательные от географических названий: скажем, «хаяури» могло означать «относящийся к Хая» — некоему селу или урочищу. Однако точного топонима «Хая» в известных источниках нет, что оставляет версию неуверенной.

Альтернативная гипотеза — корень «хая» может восходить к тюркскому или арабскому слову «хай» (жизнь, живой) с наращением -ур. В таком случае «Хаяур» — это прозвище бойкого, живого человека, а фамилия образована по редкой модели с суффиксом -ий, характерной для украинских или польских фамилий (ср. Хаяурий — как Гайдай, но с другим окончанием). Эта версия правдоподобнее, если у семьи есть корни в южных или западных регионах бывшей Российской империи.

Третья возможность — фамилия является русифицированной формой иноязычной фамилии, где конечное -ий появилось при записи в русских документах. Например, молдавская или румынская фамилия Хаюри (от слова «хаю» — «жадный» или «хищник»?) могла быть записана как Хаяурий через смешение с русским окончанием прилагательных. Но это лишь догадка: без конкретных архивных записей или семейного предания определить точное происхождение невозможно.

В любом случае, Хаяурий — нестандартная фамилия, выбивающаяся из привычных рядов Ивановых и Кузнецовых. Если вы её носитель, то, скорее всего, столкнулись с тем, что её происхождение не объяснить одним корнем. Лучший способ узнать правду — проверить документы старшего поколения: метрики, ревизские сказки или военные билеты, где мог быть зафиксирован первоначальный вариант написания.