Фамилия Хейкури — редкая и необычная для русского уха. Её происхождение, скорее всего, не исконно русское, а иноязычное, и самый вероятный путь — из прибалтийско-финской языковой среды. Основа фамилии — прозвище или личное имя, которое восходит к финскому слову «heikko», что означает «слабый», «хилый». В карельском и финском языках это слово могло использоваться как характеристика человека — не столько в прямом уничижительном смысле, сколько в качестве бытового прозвища, например, для младшего или болезненного ребёнка.

Географически фамилия Хейкури привязана к северо-западу России: Карелия, Ленинградская область, бывшая территория Ингерманландии. Там, где веками жили ингерманландские финны, карелы и ижора, фамилии на -ури (-uri) встречаются чаще, чем в центральной России. Суффикс -ури в финских фамилиях нередко выступает как уменьшительно-ласкательный или указывает на принадлежность (ср. Хейкки — Хейкури). Таким образом, Хейкури — это, по сути, «слабенький» или «маленький слабак», но в контексте традиции прозвищ это скорее бытовое, а не оскорбительное имя.

В русском контексте фамилия могла появиться в результате обрусения финского населения, когда паспортизация в XIX — начале XX века закрепила за человеком его семейное прозвище как официальную фамилию. Встречаются варианты написания: Хейкури, Хейкура, а также более русифицированные Хейкуров или Хейкурин, но исходная форма без суффикса -ов/-ин как раз и выдает финское происхождение.

С точки зрения словообразовательной модели, Хейкури стоит особняком среди русских фамилий: у неё нет славянского суффикса, она не склоняется по падежам как типичная русская фамилия (сравните: «у Иванова» и «у Хейкури»). Это типичный признак фамилий, заимствованных из финно-угорских языков, где основой служит целое слово или прозвище без дополнительного оформления. Если ваш предок носил эту фамилию, он, скорее всего, происходил из крестьянской или мещанской среды северо-западных губерний, а сама фамилия — прямое указание на его этнические корни.