Фамилия Кивгазова — редкий случай, где географическая привязка оказывается важнее морфологии. Если вы встретили её в России, почти наверняка её носители — потомки казаков или крестьян из южнорусских областей, в первую очередь с Дона и Кубани. Основа фамилии — прозвище Кивгаз, которое, скорее всего, имеет тюркские корни. В языках тюркской группы (ногайском, кумыкском, карачаево-балкарском) «кив» или «кий» может означать «войлок», «кошма», а «газ» — «гусь». Буквально «кивгаз» — это «гусь с войлочным оперением» или, в переносном смысле, «неуклюжий, мешковатый человек». Версия с прямым заимствованием из калмыцкого или монгольского (где «кив» — «легкий», «воздушный») менее вероятна: она давала бы прозвище «легкий гусь», что нелогично для насмешливого прозвания.

Суффикс -ов- в окончании — стандартный русский патронимический формант, указывающий на принадлежность: «чей?» — Кивгазов, то есть сын Кивгаза. Форма Кивгазова — женский вариант или, что чаще в исторических документах, указание на жену или вдову Кивгазова. В казачьей среде фамилии на -ов были основным типом, вытеснившим более древние прозвища.

Интересно, что фамилия не попала в классические словари русских фамилий (Унбегауна, Никонова) именно из-за своей узкой региональности. В метрических книгах XIX века Кивгазовы фиксировались в станицах Области Войска Донского, например, в Нижне-Чирской. Это значит, что предок носителя фамилии мог быть не просто крестьянином, а казаком, нёсшим пограничную службу. Прозвище Кивгаз, скорее всего, дали за внешность или манеру одеваться — вряд ли за охотничьи успехи.