Фамилия Клеилкина — женская форма мужской фамилии Клеилкин. В основе лежит прозвище или мирское имя Клеилка. Словообразовательная модель здесь редкая и примечательная: суффикс -к- в основе (Клеил-к-а) указывает на то, что прозвище было образовано от глагола «клеить» с помощью уменьшительного или уничижительного суффикса. Затем к этой основе добавился патронимический суффикс -ин, который в русских фамилиях означает «сын такого-то» (Клеилкин = сын Клеилки).

Сам глагол «клеить» в диалектах и просторечии имел несколько значений. Помимо прямого — скреплять клеем, он мог означать «льстить», «подлизываться», «приставать с разговорами» (отсюда «клеиться» к кому-то). В некоторых говорах «клеила» называли льстеца или назойливого человека. Однако не стоит торопиться с негативной трактовкой: в русской ономастике мирские имена и прозвища часто давались «от противного» или по случайной черте, не обязательно постоянной.

Более вероятен другой, ремесленный, вариант происхождения. В северных и центральных губерниях России «клеилками» могли называть мастеров, занимавшихся склейкой деревянной посуды, мебели или оконных рам. Слово «клеилка» могло обозначать и инструмент — кисть для клея, или саму деталь, подлежащую склейке. Соответственно, предок носительницы фамилии мог быть столяром, бондарем или плотником, специализировавшимся на склеивании. Фамилия Клеилкин — редкая, в отличие от распространённых Клеев, Клейменовых или Клещёвых, что говорит о локальном бытовании прозвища.

В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) подобные модели с суффиксом -к- относятся к «полуименам» — уменьшительным формам от глагольных прозвищ. Можно сравнить с фамилиями Варилкин (от «варить»), Топилкин (от «топить»), Каталкин. Все они указывают на действие, которым человек был занят или за которое получил кличку. Географически фамилия Клеилкин встречается в основном в Поволжье, что косвенно подтверждает связь с деревообрабатывающими промыслами, распространёнными в этих краях.