Фамилия Клменко, судя по всему, представляет собой искажённый или упрощённый вариант написания фамилии Клеменко, которая, в свою очередь, образована от канонического имени Клемент (латинское clemens — «милостивый», «снисходительный»). В русской и украинской традиции имя бытовало в формах Клим, Клементий, реже — Клемент. Суффикс -енко (украинский патронимический суффикс) указывает на происхождение от отца: Клеменко буквально значило «сын Клемента» или «потомок Клима».

Отсутствие буквы «е» в первом слоге (Клменко вместо Клеменко) может быть следствием нескольких причин. Самая вероятная — это диалектная или бытовая редукция, когда гласный звук «выпадал» при произношении, особенно в устной речи, и такое написание закрепилось в документах, например, при переписи населения или в церковных метриках. Вторая версия — описка писаря, которая со временем стала официальной фамилией. Третья, менее распространённая, — связь с прозвищем от слова «клёменный» (в некоторых говорах — «сильный», «крепкий»), но это предположение не имеет надёжных подтверждений в ономастике.

Основной ареал бытования фамилии — южные и центральные регионы России, а также Украина, где патронимические фамилии на -енко особенно распространены. Сословная принадлежность носителей в основном была крестьянской или казачьей, поскольку фамилии на -енко в XVII–XIX веках часто фиксировались именно в этих слоях населения, особенно в слобожанских и черниговских землях.

Таким образом, если вы носите фамилию Клменко, ваши предки, скорее всего, были людьми, чей отец или дед носил имя Клим или Клементий. Сама фамилия — живое свидетельство того, как устная речь и канцелярская ошибка могут создать новую, самостоятельную форму, отличную от исходной.