Фамилия Клнюший — редкий случай, когда написание подсказывает произношение, но скрывает происхождение. Первое, что бросается в глаза: суффикс -юш- (-ущ-), который в русских фамилиях встречается нечасто. В отличие от массовых -ов, -ин или -ский, этот суффикс характерен для прозвищ, образованных от глагольных форм действительного причастия настоящего времени. То есть Клнюший — это буквально «тот, кто клнет» или «кто клюет». Но какой глагол лежит в основе?

Здесь возможны две версии, и обе опираются на диалектную лексику. Первая: основа «клн» — это вариант глагола «клясть» (проклинать) с утратой мягкого знака и редукцией гласного. В говорах встречалось слово «клнюший» как «проклинающий, бранчливый человек». Вторая версия связывает фамилию с «клевать»: в некоторых северных и сибирских говорах «клнючий» или «клнющий» означало «придирчивый, дотошный, клюющий по мелочам». Оба значения сходны по смыслу — человек с неуживчивым или въедливым характером.

Написание с двумя «ю» подряд (Клнюший, а не Клюющий) — не ошибка, а отражение старой орфографической традиции или диалектного произношения, где звук [й] после мягкого [л'] не писали отдельно. Такие фамилии редко попадали в официальные реестры, поэтому их носители, скорее всего, были крестьянами или посадскими людьми из глубинки, где прозвище закрепилось как родовое имя.

В академических словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна или В. Никонова) фамилия Клнюший не упоминается — это показатель её локального бытования. Вероятно, она встречается в единичных семьях на территории бывшего Архангельского или Вологодского края, где сохранились архаичные словоформы. Сравните с однокоренными, но более частыми фамилиями Клюев (от «клевать»), Клячин (от «кляча»), Кляузов — все они описывают поведение или характер, а не профессию.

Итог: предок носителя фамилии Клнюший получил прозвище за сварливый или придирчивый нрав. Фамилия недворянская, негеографическая, чисто прозвищная, и её редкость — главная ценность для тех, кто ищет свои корни.