Фамилия Кочеток — редкий пример, когда основа не просто прозвище, а деминутив, уменьшительная форма. В её центре лежит слово «кочет» — так в южных и центральных областях России (особенно в Рязанской, Тамбовской, Курской губерниях) называли петуха. Соответственно, «кочеток» — это молодой петушок, цыплёнок мужского пола.

Слово «кочет» — древнее, общеславянское, но в литературном русском языке его вытеснило «петух». Зато в диалектах оно сохранилось, и именно из народной речи фамилия и вышла. Человек по прозвищу Кочеток мог получить его за драчливый, задиристый нрав — как и петух, или за голосистость, привычку вставать рано, или просто за маленький рост и «петушиную» стать.

Модель образования проста: прозвище Кочеток перешло в фамилию без изменений, без добавления типичных суффиксов -ов или -ин. Это так называемая фамилия-существительное в чистом виде, что характерно для украинской и южнорусской традиции. Встречается она преимущественно на стыке этих культур — в Белгородской, Воронежской, Ростовской областях, а также на Кубани, куда переселенцы принесли свой говор.

Интересно, что фамилия Кочеток не смешивается с более распространённой Кочетков. Кочетков — это уже патроним от того же «кочета», но с суффиксом принадлежности. Кочеток же сохраняет исходную уменьшительную форму прозвища, что делает её более архаичной и локально привязанной. Если ваш предок носил такую фамилию, он, скорее всего, был из крестьянской среды южного черноземья, где «кочет» был обычным словом, а не книжным.