Фамилия Коэткина — редкий случай, когда основа не бросается в глаза, а суффикс подсказывает путь. Это женская форма фамилии Коэткин, а та, в свою очередь, образована с помощью типичного русского патронимического суффикса -ин. Суффикс -ин указывает на принадлежность: «чей?» — Коэткин, то есть сын или потомок человека по прозвищу или имени Коэтка.

Ключ к происхождению — в основе «Коэтк-». Скорее всего, перед нами вариант написания или диалектное произношение фамилии, восходящей к слову «коет» или «коеть». В старых русских говорах, особенно на севере и в Сибири, «коеть» означало «корить», «упрекать», «бранить». Прозвище Коэтка мог получить человек сварливый, ворчливый, любящий читать нотации. Суффикс -к- в прозвище часто придавал оттенок уменьшительности или просто указывал на носителя признака, как в словах «певка» или «зубровка».

Не исключена и более прозаическая версия: фамилия могла возникнуть от редкого неканонического имени или прозвища на основе заимствований, но связь с русским глаголом «корить» выглядит наиболее естественной. Встречаемость фамилии крайне низкая, что говорит о её локальном бытовании: предки носителей Коэткиных жили, скорее всего, в одной или нескольких соседних деревнях, где прозвище закрепилось за родом. Географически фамилия может быть привязана к старообрядческим регионам или северным областям, где диалектная лексика сохранялась дольше всего.

Таким образом, Коэткины — потомки человека, которого в округе прозвали Коэткой за въедливый характер или привычку всех поучать. Фамилия не дворянская и не крестьянская по происхождению — она из той же среды, что и большинство русских фамилий на -ин: из среды простых людей, получивших прозвище за особенность поведения.