Фамилия Коцюлим — редкая, и её происхождение неочевидно. Чтобы её понять, нужно отбросить привычные русские фамильные окончания — здесь нет ни -ов, ни -ин, ни -ский. Основа заканчивается на согласный, что наводит на мысль об украинской или польской модели образования. Скорее всего, перед нами фамилия-прозвище, застывшая в форме глагола в повелительном наклонении или в форме именительного падежа существительного.

Самый вероятный корень — «коц» или «коца». В украинских и южнорусских говорах «коц» — это грубое шерстяное одеяло, половик, иногда — войлок. Слово «коцюлим» могло быть уменьшительно-уничижительной формой: «коцюля» (плохое, драное одеяльце) плюс суффикс -им, характерный для украинских фамилий (сравните: Коваль, Ковальчук, но есть и формы на -им: Голубим, Скородим). В таком случае Коцюлим — человек, связанный с изготовлением или продажей дешёвых одеял, либо прозвище неопрятного, неряшливого человека, которого сравнивали с тряпкой.

Вторая версия, менее распространённая, но лингвистически допустимая: основа «коцюл» от диалектного «коцюля» — палка, дубина, или «коцати» — стучать, бить. Тогда Коцюлим — прозвище драчуна, задиры. Однако связь с одеялом выглядит убедительнее, так как «коц» и его производные широко представлены в украинской лексике, а глагольные формы с суффиксом -им в фамилиях чаще образуются от названий предметов, а не действий.

Географически фамилия встречается в основном в западных областях Украины (Львовская, Тернопольская, Ивано-Франковская) и в приграничных районах Польши. В России она практически не фиксируется, что подтверждает её западнославянский или западноукраинский ареал. Социальный контекст — вероятно, фамилия возникла в среде ремесленников или крестьян, где прозвища были простыми и бытовыми.

Таким образом, Коцюлим — это не «сын Коцюли», а прямое прозвище, ставшее фамилией. Его носитель, скорее всего, имел дело с грубым сукном или войлоком, либо получил прозвище по внешнему сходству с драным одеялом. Споров между версиями нет: первая (одеяльная) подкрепляется лексическим материалом, вторая (от «коцюля-палка») — лишь гипотеза без надёжных словарных подтверждений.