Фамилия Ковкута — редкий случай, когда географическая привязка почти наверняка перевешивает все прочие версии. В русском языке слово «ковкута» ничего не означает, и ни один продукт, ремесло или личное имя так не звучит. Зато в украинском и южнорусских говорах «ковкута» — это диалектное название кукушки. Точнее, вариант слова «зозуля» или «кукушка», зафиксированный, например, на Слобожанщине и в некоторых районах Черниговщины.

Отсюда и происхождение: фамилию могли дать человеку, которого в селе прозвали Ковкутой — за голос, манеру поведения или внешность, чем-то напомнившую эту птицу. Прозвища по птицам — обычное дело в славянской ономастике: Дрозд, Соловей, Воробей, но Ковкута стоит особняком из-за узкой диалектной базы. Если ваш предок носил такую фамилию, с высокой вероятностью его корни — на границе современных Украины, Беларуси и России, в зоне перехода северских говоров.

Суффикс -а типичен для украинских прозвищных фамилий, которые не получили стандартного русского оформления через -ов/-ев. Фамилия не склоняется по падежам как типичная русская, а остаётся в форме, близкой к исходному прозвищу. Это указывает на сравнительно позднюю фиксацию или на то, что носители долго сохраняли украинскую языковую среду.

Версия о тюркском происхождении (от «ков» — «кувшин» или «кута» — «укрытие») существует, но лингвистически слаба: для тюркского заимствования в русском языке фамилия выглядела бы иначе, с другим суффиксом и ударением. Ударение в фамилии, скорее всего, падает на последний слог — Ковкута́, как и в слове «кукушка» в диалектном произношении.

В исторических документах фамилия встречается редко, что подтверждает её локальный характер. Если вы Ковкута, то, вероятно, ваши предки — крестьяне или казаки из чернозёмной полосы, где кукушку называли именно так, а не иначе.