Фамилия Краивский — типичный пример того, как географическая привязка становится родовым именем. Её основа — топоним, название населённого пункта. В польской, украинской и белорусской традиции суффикс -ский (-ski) указывал на дворянское или шляхетское происхождение, но со временем такие фамилии распространились и среди крестьян, особенно после отмены крепостного права. Конкретных предков носителя фамилии стоит искать в сёлах с корнем Кра-: это могли быть Краево, Краев, Краи, Крайня или Крайцы. Такие названия встречаются на территории современных Польши, Западной Украины и Беларуси.

Словообразовательный центр — «край». В древнерусском и польском языках «край» означал не только границу, но и часть земли, удел, а также «берег» или «оконечность». Фамилия Краивский, скорее всего, образована от названия поселения, стоявшего на краю леса, поля или у границы владений. Вариант написания через «и» (а не «е») — Краивский, а не Краевский — указывает на украинскую или юго-западную русскую фонетику: в говорах «край» могло звучать как «краів», а прилагательное от него — «краівський». В польском аналог звучал бы как Krajewski (Краевский), что гораздо распространённее.

В документах Российской империи фамилия могла фиксироваться с искажениями: Краевский, Крайовский или даже Кравский. Поэтому, если ищете предков, стоит проверять все варианты написания, особенно в метрических книгах Волынской, Подольской или Гродненской губерний. В этих регионах фамилия встречается чаще, чем в центральной России.

По социальному составу: носители Краивских — это преимущественно крестьяне и мещане, реже — духовенство. Дворянская ветвь (если была) носила бы герб и, вероятно, писалась бы как Краевские герба Ястржембец или Лелива, но это уже предмет отдельного генеалогического исследования.

Коротко: если вы Краивский, ваши предки, скорее всего, жили в деревне на окраине — на краю леса, поля или границы земель. Фамилия не редкая, но и не массовая, что облегчает поиск в узколокальных архивах.