Фамилия Крантов — редкий случай, когда основа очевидна, а вот путь её появления в русской среде не так прост. Слово «крант» в русском языке закрепилось как технический термин (водопроводный кран, подъёмный кран), но это заимствование из немецкого или голландского (Kran, kraan) произошло в Петровскую эпоху, не раньше конца XVII — начала XVIII века. Значит, фамилия не могла возникнуть в древнерусский период, а относится к поздним, «профессиональным» прозвищам.

Самый прямой вариант: предок был мастером, который делал или чинил краны — водопроводные, пивные, либо подъёмные механизмы. В городах, где при Петре I строили флот и каналы (Петербург, Архангельск, Воронеж), такие мастера были нарасхват. Прозвище Крант могли дать и человеку, который работал на кране — машинисту подъёмного устройства, но это уже более поздняя история, ближе к XIX веку.

Суффикс -ов указывает на типичную русскую модель «чей?» — сын Кранта. Форма без смягчения (не Крантев, а Крантов) говорит о том, что основа воспринималась как твёрдая, мужская. В говорах встречается и вариант Крантовский, но это уже польско-украинский след, от топонима Крантов (такие деревни есть в Беларуси). Для собственно русской фамилии Крантов география бытования узкая: её чаще всего фиксируют в центральных областях и на Урале, где в XIX веке активно развивалась заводская промышленность.

В словарях (например, у Б. Унбегауна) эта фамилия не разбирается отдельно, но по модели она полностью совпадает с кланом «технических» фамилий вроде Винтов, Болтов, Клюев (от «ключ»). Это не дворянская и не крестьянская фамилия в классическом смысле — она из городского, ремесленного сословия. Если ваш предок носил её, он почти наверняка был связан с металлом, водой или механизмами, а не с землёй.