Фамилия Кватюра — редкая, но её устройство прозрачно для того, кто знаком с украинскими и польскими моделями образования фамилий. Основа здесь — слово «кватя» или «кватий». В юго-западных говорах (украинских, белорусских, польских) «квата» или «кватя» означала «кварта», то есть мера жидкости, а в переносном смысле — «кружка», «посудина». Человек по прозвищу Кватя — это либо тот, кто делал или продавал такую посуду, либо, что вероятнее, обладатель округлой, «квадратной» фигуры (от польского kwadrat — квадрат, четырёхугольник). В польском языке есть глагол kwatować — «квартировать», «размещать», но для фамилии эта связь слабее.

Суффикс -юр(а) — характерный для украинских и польских фамилий, образованных от прозвищ (ср. Костюра, Матюра, Петюра). Он часто придаёт оттенок уменьшительности или принадлежности к определённому типу людей. В данном случае Кватюра — это «сын Квати» или просто носитель прозвища, которое со временем закрепилось как фамилия. Ударение, скорее всего, падает на последний слог: Кватюра́, что типично для украинской модели.

Географически фамилия должна быть привязана к западноукраинским землям (Галиция, Волынь) или к пограничным районам Польши и Беларуси. В российских переписях XIX века Кватюра почти не встречается — это указывает на её локальное бытование в среде крестьян или мелкой шляхты. Известны единичные носители в Подолье и на Хмельнитчине, но массового распространения фамилия не получила.

В отличие от более частых фамилий на -юк или -енко, модель на -юра — архаичная и редкая. Она не даёт сословной привязки: Кватюра мог быть как ремесленником (бондарем, гончаром), так и крестьянином, получившим прозвище за внешность. Интересно, что в польских записях XVI–XVII веков встречается форма Kwatura — с тем же корнем, но с латинским окончанием, что может говорить о шляхетском происхождении отдельных ветвей. Однако документальных подтверждений этому нет.

Итог: фамилия Кватюра — украинского или польско-украинского происхождения, образована от прозвища Кватя (кружка, мера жидкости или квадратная фигура) с помощью суффикса -юр(а). Носители её — выходцы из западных областей Украины, вероятно, ремесленники или крестьяне. Фамилия редкая, но её форма позволяет уверенно реконструировать историю.