Фамилия Кярнер — редкая для России и, скорее всего, заимствованная. Её происхождение ведёт к двум основным версиям, и обе указывают на Прибалтику или немецкоязычную среду.

Первая и наиболее вероятная гипотеза связывает фамилию с немецкой фамилией Карнер. В её основе лежит диалектное немецкое слово Karner, что означает «склеп». Это профессиональное прозвище: так могли назвать гробовщика или человека, который работал при кладбище или часовне. Переход гласной «а» в «я» (Карнер → Кярнер) типичен для эстонского и финского языков, где звук «я» смягчает твёрдые гласные в заимствованиях. Поэтому фамилия могла оформиться именно в Эстонии.

Вторая версия отталкивается от эстонского корня kärn — «корка, струп, чесотка». В этом случае прозвище Кярнер мог получить человек, переболевший тяжелой кожной болезнью или имевший заметный шрам. Такие прозвища по внешним признакам давали без злого умысла — просто как отличительную черту. Однако эта гипотеза менее убедительна: суффикс -er нехарактерен для эстонских прозвищ, а вот для немецких фамилий он типичен.

Фамилия Кярнер встречается в основном среди эстонцев. Самые известные носители — спортсмен и писатель. Олле Кярнер — эстонский ориентировщик, призёр чемпионата Европы 2006 года. Яан Кярнер — эстонский писатель. Оба подтверждают прибалтийский след фамилии.

Итог: если ваши предки носили фамилию Кярнер, скорее всего, они были эстонцами или выходцами из немецкой общины Прибалтики, а род занятий одного из них мог быть связан с погребальным делом.