Фамилия Кыржинаков — редкая и географически привязанная. Её основа не славянская, а тюркская, что сразу указывает на регион бытования: Хакасия, юг Красноярского края, Тува. Носители фамилии — в основном хакасы, реже — тувинцы или шорцы.

Разбираем словообразовательную модель. Фамилия образована по русскому патронимическому суффиксу -ов, но не от крестильного имени, а от тюркского прозвища или имени. Корень — «кыржын» (или «кыржин»). В хакасском языке «кыржын» означает «сварливый», «скандальный», «вздорный человек». Прозвище могли дать человеку с неуживчивым характером. В тюркской антропонимии такие прозвища были обычным делом: они не несли обязательно негативного оттенка, а скорее фиксировали яркую черту.

Вторая версия, менее вероятная, но имеющая право на существование: «кыржын» может быть искажением от «кыргыз» (киргиз). В сибирских говорах и диалектах хакасского языка встречается форма «кыржыс» или «кыржын» для обозначения киргизов. Тогда Кыржинаков — потомок киргиза, переселившегося в Хакасию. Но эта версия слабее: фамилия не получила широкого распространения у киргизов, а в Хакасии встречается именно в форме с суффиксом -ов, что типично для русификации местных фамилий в XIX — начале XX века.

Уникальная деталь: фамилия Кыржинаков — хороший пример того, как русская патронимическая модель (-ов) наложилась на тюркскую основу, но без промежуточного звена — отчества. В русской традиции сначала было отчество (Кыржинович), а потом уже фамилия. Здесь же сразу взяли прозвище отца и оформили его как фамилию, минуя стадию отчества. Это говорит о позднем оформлении фамилии, уже в советское время, когда паспортизация закрепляла за людьми именно такую форму.

Социальный контекст: предки носителя фамилии — скорее всего, скотоводы-кочевники или охотники из таёжных районов Хакасии. Дворянства среди Кыржинаковых не было, фамилия чисто крестьянская, из среды коренных народов Сибири. Встречаемость фамилии крайне низкая, в основном в Аскизском и Таштыпском районах Хакасии.