Фамилия Кючюк — редкий случай в русском ономастиконе, и её происхождение почти наверняка не славянское. Если вы ищете корни, первое, что нужно понять: это не переделанное на русский лад «Кукушкин» и не вариант «Кучук». Основа фамилии — тюркское слово «кючюк» (в разных диалектах: küçük, kiçik), которое означает «маленький», «младший».

Скорее всего, фамилия Кючюк — это застывшее прозвище. В тюркской среде (крымские татары, турки, азербайджанцы, кумыки, ногайцы) «Кючюк» давали младшему сыну в семье, невысокому человеку или даже как ласковое обращение к ребёнку, которое потом закрепилось за ним во взрослой жизни. Такие прозвища были распространены повсеместно: в анатолийских селениях, в Крымском ханстве, у кавказских народов. Позже, при переходе в русскую культуру (например, после присоединения Крыма к России в 1783 году или при переселении татар в Литву и Польшу), прозвище оформили как фамилию.

Модель образования здесь простейшая: прозвище без какого-либо суффикса стало фамилией. Это типично для фамилий тюркского происхождения, которые не проходили через русскую патронимическую обработку (вроде добавления -ов или -ин). Именно поэтому вы не найдёте варианта «Кючюков» — он бы звучал искусственно. Фамилия Кючюк сохранила исходную форму, что указывает на относительно позднюю фиксацию или на то, что носители долго сохраняли родной язык.

Встречается фамилия нечасто, в основном у потомков крымских татар, а также у караимов и турок-месхетинцев. Если ваши предки жили в Крыму или на юге Украины, связь с «Кючюк» как с указанием на младшего в роду — самая прямая версия. Спорных гипотез здесь немного: иногда фамилию путают с тюркским «кучук» (собака, щенок), но для человека такое прозвище было бы скорее унизительным, а «кючюк» — нейтральным и бытовым. Разница в произношении (твёрдое «к» против мягкого) в разных языках могла стираться, но смысл остаётся: «маленький», а не «щенок».