Фамилия Лагойкина — женская форма фамилии Лагойкин, которая образована от прозвища или нецерковного имени Лагойка. В основе лежит диалектное слово «лагой» — так в некоторых русских говорах называли нерасторопного, медлительного или ленивого человека. Слово это родственно глаголу «лагаться» (медлить, мешкать) и существительному «лагода» (промедление, задержка). Таким образом, прозвище Лагойка давали человеку неторопливому, возможно, даже вялому.

Суффикс -ин в фамилии указывает на принадлежность: Лагойкин буквально означает «сын Лагойки» или «из семьи Лагойки». Это типичная модель образования русских фамилий от прозвищ с уменьшительным суффиксом -к(а). Обратите внимание: в отличие от фамилий на -ов/-ев, которые чаще встречаются у потомков по отцу, фамилии на -ин тоже широко распространены и не несут сословной окраски — их носили и крестьяне, и мещане, и дворяне.

Географически фамилия Лагойкин и её женская форма Лагойкина тяготеют к северным и центральным областям России. Встречается она в Вологодской, Архангельской, Костромской и Кировской областях — именно там диалектное слово «лагой» было в ходу. В южных и сибирских регионах фамилия редка.

Интересная деталь: у фамилии есть однокоренные «соседи» — Лагойда, Лагойдин, Лагойский. Все они восходят к тому же корню «лаг-» со значением медлительности. Но если Лагойкин — это «сын медлительного», то Лагойский, скорее всего, образован от географического названия (например, от села Лагойки или Лагойское).

В дореволюционных источниках фамилия Лагойкина могла писаться через «о» — Логойкина, что связано с аканьем (произношением «о» как «а» в безударной позиции). Такие варианты встречаются в метрических книгах XIX века, но не меняют сути: корень остаётся тем же.