Фамилия Лавягины — редкий пример, когда корень слова не бросается в глаза, а суффикс подсказывает географию. Она образована по стандартной русской модели с суффиксом -ин, который в родительном падеже указывает на принадлежность: «чей?» — Лавягин, то есть сын или потомок человека по прозвищу или имени Лавяга. Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Лавя́гин.

Самое интересное — основа «Лав-». В русских фамилиях она чаще всего отсылает к имени Лавр (от латинского laurus — «лавр», символ победы) или к его просторечным формам вроде Лавря, Лавруха. Но здесь мы видим необычный суффикс -яг-. В ономастике суффиксы -яг-, -як-, -уг- характерны для северных и северо-западных говоров (новгородских, псковских, архангельских). Они придавали прозвищу оттенок просторечия или уменьшительности, но не ласкательности, а скорее бытовой фамильярности. Лавяга — это могло быть прозвище человека, которого в деревне звали не иначе как «Лавря» или «Лаврик», но с местным диалектным окончанием. В говорах слово «лави́ть» означало «ловить, хватать», но для фамилии эта версия маловероятна: она не объясняет имени Лавр в основе.

Есть и вторая, более редкая гипотеза: связь с диалектным «лавица» — скамья, лавка. Тогда Лавяга — прозвище мастера, который делал лавки, или человека, который на них торговал. Но слово «лавица» в таком значении встречается в основном в южных и западных говорах, а суффикс -яг- — северный. Стык двух диалектных зон маловероятен, поэтому версия с именем Лавр и северным суффиксом выглядит убедительнее.

Сословно Лавягины, скорее всего, крестьяне или посадские люди. Фамилии на -ин с такой основой редко встречались у дворянства (там преобладали -ов/-ев и -ский). Географически фамилия тяготеет к бывшим новгородским землям — Вологодской, Архангельской, Костромской областям, где суффикс -яга в прозвищах был нормой (сравните: Боряга, Митяга, Коряга). В переписях XVII–XVIII веков такие формы фиксировались как уличные прозвища, а затем закрепились в качестве фамилий.

Если сравнивать с однокоренными, то Лавягины стоят особняком. Фамилии Лавров, Лаврентьев, Лавриков — массовые и прозрачные. Лавягин — редкий вариант, который сохранил диалектную огласовку и не был вытеснен более литературными формами. Это как раз тот случай, когда фамилия говорит о месте происхождения предков точнее, чем о роде их занятий.