Фамилия Ледышема — настолько редкая, что её обладатель, скорее всего, может восстановить историю рода по семейным преданиям быстрее, чем по архивам. В официальных базах данных и классических словарях русских фамилий (Унбегаун, Никонов, Веселовский) она не зафиксирована. Это не значит, что её нет, — это значит, что она локальная, поздняя или сильно искажённая при записи.

Первое, что бросается в глаза, — нестандартное окончание «-ема». В русской модели фамилий такой суффикс не продуктивен. Обычные окончания — -ов, -ев, -ин, -ский, -их. Окончание «-а» в именительном падеже характерно для украинских, белорусских и некоторых польских фамилий (Ледышема, как Сосюра или Паливода). Вероятнее всего, перед нами украинская или белорусская фамилия, которая пришла в русский контекст без изменений. Если бы её русифицировали, она звучала бы как Ледышемов или Ледышемин.

Корень «ледыш-» прозрачен: он восходит к слову «лёд», «ледыш» — в диалектах так могли называть ледяной нарост, сосульку, или, переносно, холодного, неприветливого человека. В некоторых говорах «ледыш» — это ещё и вид мелкой рыбы (бычок-подкаменщик), которая держится у холодного дна. Прозвище Ледыш мог получить человек с холодным характером, либо тот, кто торговал льдом или жил возле ледника.

Окончание «-ема» — самая загадочная часть. Возможно, это искажённое диалектное «-има» (как в фамилии Голенищев, от «голенище»), но «Ледышема» звучит как форма творительного падежа в древнерусском («кем? Ледышемой»). Есть версия, что это описка писаря: при переписи человека могли записать в косвенном падеже («Иван Ледышема» вместо «Иван Ледышев»), и форма закрепилась. Либо это белорусская конструкция с суффиксом «-ема» (аналог -евна/-овна), что встречается в западных регионах.

Социально фамилия почти наверняка крестьянская. Дворянские роды с таким окончанием — редкость, и они обычно оканчиваются на -ский. Если ваши предки — Ледышема, они могли жить на границе современных Украины, Беларуси и России, в районах, где смешивались говоры и диалекты. Скорее всего, фамилия возникла не раньше XVIII века, когда крестьянам начали массово давать фамилии по прозвищам.