Фамилия Леиыкина — редкий случай, где написание сразу бросается в глаза. Сочетание «иы» нехарактерно для русской орфографии и почти наверняка указывает на искажение при записи. Скорее всего, исходная форма — Лейкина или Левыкина, а буква «ы» попала в середину из-за ошибки писаря, неверной транслитерации или опечатки в паспорте. Поэтому разбирать фамилию стоит по её наиболее вероятному прототипу.

Если основа — Лейк-, то перед нами типичная «матронимическая» фамилия, образованная от женского имени Лейка. Это уменьшительная форма от Лейла (арабского происхождения, означает «ночь») или, реже, от Олимпиада (греческое «небесная»). В русских деревнях Лейкой могли называть и девочку, родившуюся ночью, и просто носительницу редкого имени. Суффикс -ин указывает на принадлежность: «чей?» — Лейкин, то есть сын или дочь Лейки.

Второй вариант — Левыкина от прозвища Левыка. Здесь корень «лев» (левша) или глагол «леветь» (становиться левшой). Левыкой в северных говорах могли прозвать человека, который всё делал левой рукой, или, в переносном смысле, неловкого, «не с той ноги» вставшего. Фамилия Левыкин фиксируется в переписях Вятской и Архангельской губерний, где прозвища по физическим особенностям были особенно распространены.

Итог: современный носитель фамилии Леиыкина, скорее всего, потомок женщины по имени Лейла (в крестьянской среде это имя давали редко, но метко) или мужчины-левши из северных русских земель. Искажённое написание — не порок, а примета времени, когда фамилию записывали на слух, и буква «ы» могла заменить сразу две буквы исходного слова.