Фамилия Лэмэшко звучит непривычно для русского уха — и это прямой намёк на её происхождение. Она явно не из центральной России, а с запада или юго-запада. Скорее всего, перед нами украинская или белорусская фамилия, которую записали на слух, а потом закрепили в документах именно в таком виде.

В её основе лежит слово «лемеш» или «леміш». В украинском и белорусском языках так называют лемех — режущую часть плуга, сошник. Человек по прозвищу Лемеш, Лемешко мог быть кузнецом, который делал плуги, или просто крестьянином, хорошо владевшим сохой. Прозвища по орудиям труда — распространённый способ именования: так появлялись Ковали, Топоры, Серпы. Фамилия закрепилась в уменьшительно-ласкательной форме через суффикс -ко, типичный для украинских фамилий (например, Шевченко, Коваленко). Суффикс -ко здесь не столько уменьшительный, сколько указывает на принадлежность: «сын Лемеша» или «маленький Лемеш».

Написание через «э» после «л» — характерная черта. В украинском языке после твёрдых согласных «е» переходит в «э» (пишется «є»). Русский язык такой фонетики не знает, поэтому при переносе в паспорт или метрику букву «е» могли заменить на «э», чтобы подчеркнуть твёрдое произношение. Встречаются варианты Лемешко, Лемещенко — они показывают ту же основу, но с привычным русскому глазу написанием.

Географически фамилия Лэмэшко тяготеет к Гомельской области Беларуси и к Черниговщине в Украине. В этих краях издавна селились люди, занимавшиеся земледелием, и прозвища по сельскохозяйственным инструментам были в ходу. Сословно носители фамилии в подавляющем большинстве были крестьянами или казаками, реже — мещанами мелких городов. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано.

Таким образом, Лэмэшко — это «сын пахаря» или «сын кузнеца-плужника», а само написание с «э» выдает украинскую или белорусскую фонетику, зафиксированную русским письмом.