Фамилия Лесбеков — редкий случай, когда основа не поддаётся однозначному славянскому прочтению. В ней нет ни одного из типичных восточнославянских корней, связанных с лесом, лыком или лестью. Слово «Лесбек» не встречается ни в древнерусских памятниках, ни в диалектных словарях. Это сразу подсказывает, что фамилия, скорее всего, тюркская по происхождению, а суффикс -ов — русская «приписка», сделанная при адаптации в документах.

Разбираем основу. «Лесбек» распадается на две части: «лес» и «бек». В тюркских языках (особенно казахском, киргизском, татарском) «бек» — титул, означающий «господин», «князь», «владыка». Первая часть «лес» могла возникнуть из имени Ләс (Ляс) — так в казахском языке передаётся арабское имя Ильяс (библейский Илия). В таком случае Лесбек — это стяжённая форма от Ильясбек, то есть «господин Ильяс». Вторая версия: «лес» — искажённое «лыс» (по-казахски «лыс» — «ровный», «гладкий», а в переносном смысле — «лишённый растительности»), и тогда Лесбек могло быть прозвищем с оттенком «гладкий (бритый?) господин».

Модель образования типична для казахских и киргизских фамилий, русифицированных в XIX–XX веках: к личному имени или прозвищу добавили русский патронимический суффикс -ов. В оригинале носитель мог зваться просто Лесбек (как имя), а его дети — Лесбековы. Встречается написание с «и» — Лесбиков, но это более редкий вариант, возникший из-за акающего произношения.

Географически фамилия тяготеет к югу Казахстана и Киргизии. В России она крайне редка и встречается в основном у потомков переселенцев из Средней Азии. Сословного барьера фамилия не имела: «бек» в основе не гарантирует аристократического происхождения — к XIX веку этот титул часто становился просто частью имени у самых разных слоёв населения.

Если вы Лесбеков, ваши предки, скорее всего, носили имя или прозвище Лесбек, и жили они в регионе, где смешивались тюркские языки и русская административная культура. Других версий, кроме тюркской, ономастика не предлагает.