Фамилия Летяжинская звучит так, будто её носительница происходит из дворянского рода, владевшего поместьем с красивым названием. И это ощущение не обманывает: суффикс -ск- (в женской форме -ская) — один из главных маркеров польской, украинской, белорусской и русской аристократической или шляхетской фамилии, образованной от названия местности. Так что первое, что приходит в голову: предки Летяжинских были владельцами или жителями некоего села или усадьбы Летяжино, Летяжье или Летяж.

Корень фамилии — «летяж-». Скорее всего, он восходит к прозвищу или имени Летяга. В старину «летягой» могли называть человека проворного, быстрого, ловкого — того, кто «летает», словно белка-летяга. В некоторых говорах «летяга» означала и непоседу, и даже вора, который быстро скрывается с места преступления. Кроме того, существует древнерусское нецерковное имя Летяга — такие имена давали по чертам характера, и от него тоже могла пойти фамилия.

Вероятно, первоначально существовала форма Летягин (от Летяги) или Летягинский (от названия деревни Летягино). А затем, по модели образования фамилий на -инский, она превратилась в Летяжинский. Обратите внимание на переход «г» в «ж»: это типичное чередование для русского языка (ср.: «нога» — «ножка»). Такое изменение часто происходило при присоединении суффикса -инск-, чтобы избежать неблагозвучного стечения согласных.

Географически фамилия редкая. Её можно встретить в центральных областях России, а также в Беларуси и на Украине — там, где были распространены фамилии на -ский. В польском языке аналогичная фамилия звучала бы как Latażyński или Lecążyński, что указывает на возможное шляхетское происхождение, но без документальных подтверждений это лишь версия.

Таким образом, Летяжинская — фамилия-топоним, образованная от названия поселения, основателем которого был человек по прозвищу Летяга. Если ваши предки носили эту фамилию, они могли быть как мелкими помещиками, так и крестьянами, которых переписали по месту жительства. Точный ответ дал бы только архивный поиск в метрических книгах и ревизских сказках конкретной губернии.