Фамилия Левышкина — женская форма, а её основа скрывается в мужском варианте Левышкин. Вглядитесь в структуру: суффикс -ин указывает на принадлежность («чей?»), а корень «Левышк-» — это уменьшительно-ласкательная форма от имени Лев. Но не торопитесь записывать её в простые «львиные» фамилии.

Дело в том, что имя Лев в русской традиции было редким до XIX века — его давали в основном в монашестве или как кальку с греческого Леон. В народной среде куда чаще встречались производные: Лёва, Лёвка, а «Левышка» — это именно та форма, которая закрепилась в прозвище или неофициальном имени. Суффикс -ышк- придаёт оттенок ласки, уменьшительности, как в «солнышко» или «пёрышко». Значит, Левышкой называли маленького Льва, ребёнка или просто человека, к которому относились с теплотой.

Но есть и вторая, менее очевидная версия. В некоторых говорах «левыш» могло обозначать левшу — человека, который всё делает левой рукой. Тогда фамилия Левышкин — это не от имени, а от прозвища по физической особенности. Однако эта версия слабее: суффикс -ышк- в прозвищах встречается реже, чем в именных формах. Правдоподобнее считать, что предок носителя фамилии был Левышкой — ласково названным Львом.

Географически фамилия редкая, встречается в основном в центральных областях России, особенно в Поволжье и на Вятке. В словарях Б. Унбегауна и В. Никонова она не фигурирует как массовая, что говорит о её локальном происхождении: вероятно, один род дал начало всем Левышкиным в конкретном уезде.

Социально — это фамилия крестьянская или мещанская. Дворяне с таким окончанием (-ин) тоже бывали, но основа «Левышка» слишком простонародна для аристократического рода. Предки скорее всего были землепашцами или ремесленниками, а фамилию получили при переписях по имени отца или деда.