Фамилия Ливожинский — редкий случай, когда географическая привязка почти наверняка перевешивает все остальные версии. Её основа — топоним, и скорее всего, белорусский или польский. Суффикс -инский (польская форма -iński) указывает на происхождение от названия места: так называли человека, владевшего землёй в таком-то селе или выходца оттуда. В русской традиции фамилии на -инский часто получали дворяне по своим поместьям, но в западных губерниях империи этот суффикс был просто стандартной моделью для любого шляхтича или крестьянина.

Искать корень нужно в названиях вроде Ливожа, Ливожино, Ливожин. На картах Польши, Беларуси и Украины таких пунктов не зафиксировано в крупных справочниках, но это не значит, что их не было: мелкие хутора и усадьбы часто исчезали бесследно. Возможна связь с литовским или балтским корнем *liv- (глинистый, илистый) — в гидронимии Подляшья и северо-запада Беларуси встречаются речки с похожим звучанием. Но более прозрачная версия — от имени Ливожа, которое могло быть производным от Лив (сокращение от Ливерий, Ливий или даже от польского Liwiusz). В таком случае фамилия означала бы «сын Ливожи» или «принадлежащий Ливоже».

Спорный момент — ударение. В русском языке фамилия обычно звучит как Ливожинский (с ударением на второй слог), но польская огласовка могла давать Ливожиньский (с мягким -нь-). Если предки происходили из бывшего Великого княжества Литовского, то в документах XIX века фамилию могли писать и как Liwożyński. Массовой миграции носителей не было: фамилия остаётся локальной, редкой, и её следы — это единичные записи в метрических книгах западных губерний, в основном среди мелкой шляхты или однодворцев.

Никакой связи с «лифляндцами» или «ливонцами» тут нет: суффикс -инский нехарактерен для немецких фамилий Прибалтики. Так что если вы носите фамилию Ливожинский, то ваш предок почти наверняка жил на границе современной Польши, Беларуси и Литвы, владел клочком земли или арендовал её, а его прозвище или название деревни навсегда закрепилось в родовом имени.