Фамилия Лижанская — сравнительно редкая, и её происхождение ведёт скорее к географическому названию, чем к прозвищу или профессии. Основа здесь — топоним: название населённого пункта вроде Лижаны, Лижанка или Лижань. Такие названия встречаются в западнославянских землях, особенно в Польше и на Украине, и могли быть перенесены в Россию вместе с переселенцами. Суффикс -ск- указывает на принадлежность к месту: Лижанский — тот, кто родом из Лижан.

Что касается самой основы «Лиж-», она звучит нехарактерно для славянских корней, и это наводит на мысль о балтском или финно-угорском следе. В литовском языке есть слово «lyžis» — «лизоблюд» или «льстец», но такое прозвище вряд ли легло в основу фамилии: слишком негативное. Правдоподобнее версия, что корень связан с гидронимом — названием речки или ручья, где «лиж» могло означать «вязкий», «топкий» (сравните с литовским «ližti» — «ломаться», «гнуться»). В таком случае Лижанская — это фамилия человека, жившего у реки Лижанки или в селе с похожим именем.

Форма Лижанская — женская, от мужской Лижанский. Такие фамилии на -ский/-ской в старину носили в основном дворяне и духовенство, но позднее она могла закрепиться и у крестьян, если они переселялись из одного села в другое и получали прозвание по прежнему месту жительства. В метрических книгах XIX века фамилия изредка встречается на юге России, в районах, куда мигрировали выходцы из Речи Посполитой.

Сравните с однокоренными фамилиями: Лижан, Лижанов, Лижанкин. Все они редки, и Лижанская стоит особняком именно благодаря суффиксу -ск-, который придаёт ей «географический» оттенок. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они происходили из одного конкретного села или хутора, название которого со временем стёрлось с карты.