Фамилия Логшаков — редкая и неочевидная. Чтобы понять её корень, не нужно быть лингвистом, но понадобится знание северных русских говоров. Основа фамилии — не имя и не профессия, а, скорее всего, прозвище.

Слово «логшак» или «логша́к» в архангельских и вологодских диалектах означало нечто вроде «неповоротливый, неуклюжий человек», «увалень». Сравните с диалектным глаголом «логшиться» — «мешкать, копаться, делать что-то медленно». Человек, которого дразнили Логшаком, вероятно, был медлительным, тяжёлым на подъём. Могло быть и другое значение: «логшак» — это крупный, грубый предмет, что тоже отсылает к физической массивности или неотёсанности.

Суффикс -ов- в фамилии Логшаков — классический патронимический, то есть «чей?» — «сын Логшака». Такая модель была самой распространённой в центральной и северной России. Форма на -аков (-аков) указывает на то, что исходное прозвище оканчивалось на твёрдый согласный — Логшак.

Географически фамилия почти наверняка родом с Русского Севера, из Архангельской или Вологодской губернии. Там диалектная лексика сохранилась лучше всего, и там же такие прозвища легко закреплялись в качестве фамилий. В переписях XVIII–XIX веков Логшаковы могли быть государственными крестьянами или черносошными — то есть свободными, не крепостными, что типично для поморских территорий.

Есть и менее вероятная, но возможная версия: связь с диалектным словом «лог» — овраг, низина. Тогда Логшаком могли назвать человека, жившего у оврага, в низине. Однако значение «медлительный» встречается в говорах чаще и объясняет прозвище точнее.

Фамилия Логшаков не имеет отношения к дворянским родам или известным историческим личностям. Это типичная крестьянская фамилия, возникшая из бытового, точного прозвища, которое давали по характеру или поведению.