Фамилия Лявор — редкий случай, когда основа не поддаётся однозначной славянской или тюркской этимологии, а само слово не встречается в современных словарях русского языка. Первое, что бросается в глаза: фамилия лишена типичных русских суффиксов (-ов, -ин, -ский). Окончание -ор скорее наводит на мысль о заимствовании через польское или украинское посредство, где такие финали не редкость.

Самый вероятный путь — от прозвища или профессии. В польском языке есть слово «lawor» (устар. «лавр», то есть лавровое дерево или венок), а также глагол «lawirować» — лавировать, уклоняться. Если предок получил прозвище Лявор (или Лявор), это могло означать «хитрец», «изворотливый человек» либо, напротив, «увенчанный славой» (от лавра). В украинских диалектах встречается слово «ля́вор» в значении «рукомойник» (от лат. lavatorium — умывальник), но такое бытовое прозвище маловероятно для фамилии — скорее это позднее переосмысление.

Вторая гипотеза — топонимическая. В Западной Украине и Беларуси есть несколько мелких хуторов и урочищ с названием Ляворы (например, в Львовской области). Фамилия могла закрепиться за выходцем из такого места: «Лявор» — человек с хутора Ляворы. В этом случае суффикс нулевой, что характерно для фамилий-прозвищ без патронимического оформления.

Третий, более экзотический вариант — искажённое румынское или молдавское «lăvor» (от лат. labor — работа, труд). В Бессарабии и на Буковине фиксируются фамилии Лявор, Лявору, но массовых переселений носителей в центральную Россию не было.

География фамилии сегодня крайне узкая. По данным открытых телефонных справочников, Ляворы встречаются единично в Ростовской области, Краснодарском крае и на Украине (Винницкая, Хмельницкая области). Это подтверждает версию о западноукраинском или польском корне. Социальный срез: в XIX веке носители фамилии — преимущественно крестьяне и мещане, без дворянских гербов.

Итог: фамилия Лявор, скорее всего, происходит от прозвища, связанного либо с изворотливостью (лавированием), либо с лавровым венком как символом почёта. Второй вариант по частоте — топонимический, от названия хутора. Однозначного решения нет, и это как раз тот случай, когда без архивов конкретной семьи не обойтись.