Фамилия Люкайтене — почти наверняка литовская, причём женская. В литовском языке фамилии жён и незамужних дочерей имеют чёткие окончания, которых нет в русском или польском. Здесь окончание -ене (-ienė) указывает на замужнюю женщину: так образовывали фамилию по мужу. То есть Люкайтене — это «жена Люкайтиса» (или, реже, «дочь Люкайтиса» в старой форме). Мужская основа — Люкайтис (Lukaitis), а та, в свою очередь, происходит от личного имени Люкас (Lukas) — литовского варианта имени Лука, которое восходит к латинскому lux ‘свет’. Так что в корне фамилии — «светлый», «сияющий».

Модель образования проста и типична для Литвы: к основе имени или прозвища добавляли суффикс -aitis (указывающий на потомка или принадлежность), а для замужней женщины — окончание -ienė. Сочетание «Люкайтене» буквально значит «принадлежащая роду Люкайтисов». Такая фамилия не могла возникнуть в России или Беларуси, где женские фамилии не склоняются по полу: там была бы просто «Люкайтис» для всех. Поэтому носительница этой фамилии почти наверняка имеет литовские корни, и предки жили на территории современной Литвы или в исторических районах с литовским населением (например, в окрестностях Вильнюса, Каунаса или в западной части Беларуси).

В литовской ономастике фамилии на -aitis/-ėnas относятся к древнему пласту патронимических образований. Они фиксируют не профессию, а родство: «сын такого-то». Люкайтис — это «сын Люкаса». В XIX веке, когда в Российской империи проводили массовую фиксацию фамилий, такие формы стали наследственными, переходя от отца к детям. Но женская форма Люкайтене осталась «привязанной» к браку: женщина могла сменить её при замужестве, если брала фамилию мужа. В современной Литве закон позволяет женщине оставить девичью фамилию (например, Люкайтите для незамужней), но в исторических документах чаще встречается именно форма на -ene.

Фамилия редкая за пределами Литвы. Если вы встретили её в России или Украине, скорее всего, это потомки литовцев, переселившихся в XIX–XX веках (например, после восстаний или в ходе столыпинской реформы). В самой Литве фамилия Lukaitienė встречается, но не входит в число самых распространённых — это типичная «деревенская» фамилия, указывающая на крестьянское происхождение без дворянского титула. Никакой связи с известными историческими родами или знаменитыми однофамильцами не прослеживается: это просто фамилия, которая говорит о предке по имени Лукас и о том, что его жена или дочь носила эту форму.