Фамилия Люперсольская — редкий случай, когда географическое название почти наверняка перешло в фамилию, минуя стадию прозвища. Если вы её носитель, то с высокой долей вероятности ваши предки были связаны с конкретным местом — хутором, деревней или усадьбой с названием Люперсоль, Люперсолье или похожим. Суффикс -ск- в женском окончании -ская указывает на происхождение от топонима: так обычно называли дворян по их поместью (как Волконский от реки Волкона) или, реже, священников по названию прихода. Мужской вариант фамилии — Люперсольский.

Корень «Люперсоль» не славянский и не тюркский. Скорее всего, это сложное слово из двух частей: «люпер» и «соль». Первая часть может восходить к французскому «loup» (волк) или латинскому «lupus» (волк) в сочетании с какой-то местной огласовкой. Вторая часть — «соль» — может быть как русским словом, так и искажённым от французского «sol» (земля, почва). Таким образом, Люперсоль могло означать «Волчья земля» или «Волчья соль» — возможно, название хутора в южнорусских или малороссийских степях, где были солончаки и водились волки. Другая версия, менее вероятная: фамилия могла возникнуть в среде духовенства как искусственное семинарское образование от латинского «lupus» и какого-нибудь библейского понятия, но это было бы крайне нехарактерно для русской семинарской традиции, где чаще брали греческие или латинские корни для благозвучия (например, Сперанский от «spero»).

Скорее всего, фамилия Люперсольская — польского или западнорусского происхождения. В Речи Посполитой было много шляхетских фамилий на -ский, образованных от названий имений, а корень «люпер» встречается в польских прозвищах (Luper, от wilk — волк). Если ваши предки были православными, фамилия могла закрепиться за однодворцами или мещанами, которые переселились с запада на восток. В любом случае, носителей Люперсольских крайне мало, и фамилия почти не встречается за пределами бывшей Российской империи — это указывает на её локальный, усадебный характер.