Фамилия Мадамкина — редкий случай, когда русская фамилия образована не от имени или профессии, а от заимствованного титула. Основа здесь — слово «мадам», французское обращение к замужней женщине (madame). В России XVIII–XIX веков так называли гувернанток, содержательниц модных лавок, домовладелиц иностранного происхождения или просто женщин, которые держались с подчеркнутой европейской манерой.

Модель образования проста: к основе «мадам» добавили русский суффикс принадлежности -к- (указывающий на лицо женского пола, ср. «нянька», «повариха») и фамильный суффикс -ин, который отвечает на вопрос «чей?». Получается: Мадамкина — «дочь или жена Мадамки». Но здесь есть нюанс: прозвище «Мадамка» вряд ли давали самой женщине — скорее, так в быту называли её мужа или сына. В крестьянской или мещанской среде могли сказать: «Это сын нашей мадамки», имея в виду женщину, работавшую у помещика гувернанткой или экономкой. Со временем прозвище закрепилось за потомками.

Вторая, менее вероятная версия — отчество от женского имени Мадамка, но такого имени в русских святцах нет. Это могло быть домашнее, шутливое прозвище девочки, которую в семье звали «маленькая мадам» за капризность или нарядную одежду.

Фамилия редкая. Встречается в основном в центральных регионах России и Поволжье — там, где в XIX веке было больше помещичьих усадеб с иностранными воспитателями. По сословной принадлежности носители, скорее всего, из бывших крепостных или мещан: дворяне такую фамилию не взяли бы — слишком простонародный суффикс и слишком явная отсылка к прислуге.

Сравните с однокоренными: Мадамов, Мадамовский — они встречаются чаще и могли принадлежать людям, которые служили у «мадам» или владели чем-то, с ней связанным. Мадамкина стоит особняком: уменьшительная форма «мадамка» звучит пренебрежительно-ласково, как «барынька» или «нянька». Это выдает среду, где французское слово обкаталось до бытового, почти деревенского звучания.