Фамилия Меьшикова — редкий случай, когда написание расходится с привычным звучанием. Скорее всего, перед нами не опечатка, а диалектный или бытовой вариант фамилии Меньшикова, где мягкий знак выпал или заменился на твёрдый. В основе лежит прозвище Меньшик — человек невысокого роста, младший по положению или возрасту. Слово «меньшой» в русских говорах означало «младший», «маленький», и такое прозвище часто давали младшему сыну в семье, чтобы отличать его от старших братьев.

Суффикс -ов- указывает на принадлежность: Меьшиков — сын Меьшика. Форма Меьшикова — женская, но в быту так могли записать и мужчину, если переписчик путался в окончаниях или ориентировался на местную традицию. В северных и сибирских говорах нередко встречается «яканье» и смягчение согласных, поэтому «Меньшиков» могло превратиться в «Меьшиков» на слух, а потом закрепиться в документах.

Сравните с однокоренными фамилиями: Меньшов, Меньшагин, Меньшиков. Все они образованы от одного корня, но разными суффиксами. Меьшикова стоит особняком — это не просто вариант, а свидетельство живой народной фонетики, где нормы письма отставали от произношения. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они происходили из крестьянской или мещанской среды, где прозвище «меньшик» было распространено и не считалось обидным — оно скорее указывало на место в семейной иерархии.