Фамилия Мижуй — один из тех редких случаев, когда основа слова не бросается в глаза, а суффикс, наоборот, привлекает внимание. Если отбросить типичное для русских фамилий окончание -ев (вариант суффикса -ов после мягкого согласного), остаётся корень Мижуй-. В современном русском языке такого слова нет, но в диалектах и старых говорах оно встречалось. «Мижуй» или «мижуйка» — так в некоторых регионах (особенно на юге и западе России, а также в Белоруссии) называли неповоротливого, медлительного человека, иногда — просто недотёпу или того, кто «мигает» и суетится без толку. Есть и вторая версия: глагол «мигать» в местных говорах мог приобретать значение «щуриться» или «плохо видеть», и прозвище Мижуй давали тому, кто постоянно жмурится или подслеповат.

Словообразовательная модель здесь нестандартная. Суффикс -уй (как в прозвищах Кривуй, Хитрюй, Бормотуй) встречается в древнерусских и диалектных именованиях, но в фамилиях он редок. Обычно такие прозвища давали по яркой внешней или поведенческой черте. Фамилия Мижуй, таким образом, могла закрепиться за родоначальником, который либо отличался медлительностью, либо имел привычку щуриться. Географически фамилия тяготеет к западу России и к белорусским землям — именно там фиксируются её ранние носители.

Академик Б.О. Унбегаун в своём «Русском ономастиконе» относит подобные образования к «неканоническим» — то есть не связанным с крестильными именами, а целиком построенным на прозвищах. Социальный слой, где возникла фамилия, — скорее всего, крестьянство или посадские люди. Дворянской фамилией Мижуй не стала, в родословных книгах она не встречается. Редкость фамилии объясняется и тем, что исходное прозвище было локальным: в центральных говорах его почти не знали.

Интересно, что фамилия Мижуй могла писаться и через «ы» — Мижы́й, но в современной орфографии закрепился вариант с «и». Встречаются также формы Мижуев и Мижуевский, но они уже вторичны — образованы от той же основы через разные суффиксы. Если вы носите фамилию Мижуй, скорее всего, ваши предки жили на западе России или в Беларуси, а сам родоначальник получил прозвище за неторопливость или особенность зрения — и это прозвище оказалось настолько цепким, что пережило века.