Фамилия Муджаева — редкий случай, когда географический и этнический след просматривается почти сразу, без долгих этимологических споров. Её основа, суффикс и ареал бытования указывают на Северный Кавказ, а точнее — на чеченскую или ингушскую среду. В русском написании фамилия оформлена по стандартной модели притяжательного прилагательного: к основе «Муджа» добавлен суффикс -ев (фонетический вариант -ов после мягкого согласного). Окончание -а — это женская форма, то есть Муджаева — «дочь или жена Муджаева». Мужской вариант фамилии — Муджаев.

Корень «Муджа» почти наверняка восходит к арабскому имени Муджахид (مجاهد) — «борец за веру», «воин». В чеченском и ингушском языках это имя, как и многие другие арабские заимствования, пришло через исламскую традицию. Со временем в устной речи конечный согласный мог отпасть, превратив полное имя в более короткое «Муджа». Подобные стяжения — обычное дело в горских языках: например, имя Ибрагим нередко звучит как Ибра, а Ахмад — как Ахма. Так и Муджахид мог превратиться в просторечное Муджа, которое затем закрепилось как родовое прозвище.

Модель фамилий на -ев/-ов у вайнахских народов (чеченцев и ингушей) — результат русской административной практики XIX–XX веков. При переписях и паспортизации местным жителям давали фамилии по имени отца или деда, прибавляя русский суффикс. Так Муджаев стало означать «потомок Муджи». В отличие от исконно русских фамилий, где суффикс указывал на принадлежность конкретному лицу (Иванов — сын Ивана), здесь он фиксирует род, ведущий начало от носителя имени.

Фамилия Муджаева распространена преимущественно среди чеченцев, реже — у ингушей. Встречается она и в среде других народов Кавказа, но как заимствованная, а не исконная. Если ваши предки носили эту фамилию, с высокой вероятностью они происходят из горных или предгорных районов Чечни или Ингушетии, где сохранялась родовая память. В документах XVII–XVIII веков фамилия не фиксируется — она оформилась поздно, в конце XIX — начале XX века, когда горцы массово получали паспорта.

Других версий происхождения — из тюркских или иранских языков — практически нет. Основа «Муджа» не находит убедительных параллелей ни в тюркской лексике, ни в русских говорах. Поэтому версия с арабским именем Муджахид остаётся основной и наиболее обоснованной.