Фамилия Мунсузбаева — редкий случай, когда основа прозвища прозрачна для носителя тюркских языков, но почти нечитаема для русского уха. Это сложное слово, которое легче разобрать по частям, чем искать в нём славянские корни. «Мунсуз» — тюркское прилагательное, образованное от слова «мун» (печаль, тоска, горе) с помощью аффикса «-сыз/-суз», который означает отсутствие чего-либо. То есть «мунсуз» — «без печали», «беззаботный», «беспечальный». Вторая часть, «бай», в тюркских языках — «богатый», «господин», «хозяин». Получается двусоставное прозвище: «беспечальный богач» или «господин без печали».

Словообразовательная модель здесь не русская, а тюркская: основа (мунсуз-бай) + русский патронимический суффикс -ев (в женском роде — -а). Фамилия оформлена по русскому образцу, но корень целиком заимствован. Такие фамилии характерны для народов Поволжья, Урала и Средней Азии — башкир, татар, казахов, ногайцев. Скорее всего, предок носителя фамилии получил прозвище Мунсузбай за свой лёгкий нрав, отсутствие уныния или, наоборот, как ироничное имя — если человек был вечно озабочен, но его назвали «беспечальным» для смеха.

С точки зрения социальной истории, прозвища с компонентом «бай» часто давали зажиточным людям, но необязательно. «Бай» могло быть и частью личного имени, и почётным обращением. В данном случае «Мунсузбай» — это, скорее, именно прозвище, а не имя при рождении: именовать ребёнка «беззаботным богачом» было бы странно, а вот дать такую характеристику взрослому — вполне.

Сравните с однокоренными фамилиями: Мунсузов (от «мунсуз» без прибавки «бай»), Баймунсузов (обратный порядок корней), а также более известные Баймуратов, Байтуганов. Фамилия Мунсузбаева — одна из самых редких в этой группе. Её носители, вероятно, живут в Башкортостане, Татарстане, Оренбургской или Челябинской областях. Точное сословие предков установить трудно: прозвище могло закрепиться и у крестьян, и у торговцев, и у служилых людей. Единственное, что можно сказать уверенно: фамилия не дворянская и не духовная — её основа слишком бытовая и образная.