Фамилия Муоавьёв — редкий и, скорее всего, искажённый вариант написания фамилии Муравьёв. Ошибка в первой букве «о» вместо «р» (Муоавьёв вместо Муравьёв) могла возникнуть при переписи населения, в документах военного ведомства или при записи фамилии неграмотным писарем на слух. Такие случаи не редкость в российской истории: при сборе рекрутов или в метрических книгах фамилии коверкали до неузнаваемости, особенно если носитель сам не мог продиктовать точное написание.

Если отбросить опечатку, основа фамилии — прозвище «Муравей». В русской ономастической традиции фамилии на -ёв (-ев) образовывались от названий животных, насекомых или птиц. Муравей — символ трудолюбия, хозяйственности, но также и назойливости. Прозвище могли дать человеку маленького роста, суетливого или, напротив, запасливого и домовитого. В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» модель «Муравьёв» — типичный патроним (отчество) от прозвища, закрепившийся как фамилия.

Географически Муравьёвы — одна из самых распространённых русских фамилий, особенно в центральных губерниях. Встречается и в дворянском сословии (например, графы Муравьёвы), и среди крестьян. Но вариант «Муоавьёв» — локальный артефакт. Если вы ищете свои корни, стоит проверить все архивные записи именно под исходной фамилией Муравьёв, а не под искажённой формой: в документах XIX века ошибка могла перейти из одной бумаги в другую, создав ложное ответвление рода.

Словообразовательно фамилия проста: корень «муравь-», суффикс «-ёв», указывающий на принадлежность («чей?» — сын Муравья). Ударение, скорее всего, падает на последний слог — Муравьёв, хотя в просторечии встречается и вариант с ударением на «а». В случае с написанием «Муоавьёв» ударение смещается на второй слог, что ещё больше отдаляет фамилию от исходного звучания.