Фамилия Нагришко звучит как типичная украинская или южнорусская, и это первое, что бросается в глаза. Суффикс -ко — один из самых распространённых в украинской ономастике, он образует фамилии от прозвищ, имён или названий профессий. В белорусском и польском языках такой суффикс тоже встречается, но для фамилии Нагришко украинское происхождение наиболее вероятно.

Основа фамилии — «Нагриш» или «Нагрыш». Здесь возможны два объяснения, и оба связаны с диалектной лексикой. Первое: от глагола «нагрызть» или «нагрызать». Прозвище Нагрыш могли дать человеку, который постоянно что-то грыз, например, семечки или орехи, либо тому, кто имел привычку грызть ногти. В переносном смысле так могли назвать сварливого, «грызущего» человека, который постоянно придирается. Второй вариант — от слова «грызь» в значении «грыжа» или «ломота». В некоторых говорах «нагрыш» означало болезненное состояние, и прозвище могло закрепиться за человеком, страдающим такой хворью, или за тем, кто лечил подобные недуги.

Менее вероятна, но возможна связь с тюркским корнем. В тюркских языках есть слово «нагыр» — «бугор», «возвышенность», и фамилия могла бы указывать на место жительства предка — «живущий на бугре». Но суффикс -ишко, скорее, славянский, поэтому эта версия выглядит натянутой. Более правдоподобно, что Нагришко — это патроним или прозвище, которое со временем закрепилось как фамилия.

Географически фамилия встречается в основном в западных и центральных областях Украины: на Волыни, в Хмельницкой, Житомирской областях. В России она редка, единичные носители живут в Краснодарском крае и Ростовской области — вероятно, потомки переселенцев с Украины. Социальный контекст: как и большинство фамилий на -ко, Нагришко относится к крестьянским или казачьим, без указания на дворянское происхождение.

В написании фамилии возможна путаница: иногда встречается вариант «Нагрішко» (с «і»), что может указывать на украинскую транскрипцию. Но в русском языке закрепилась форма через «и». Если ваш предок носил эту фамилию, скорее всего, он был человеком с характером — либо работящим, но с едким языком, либо просто получил прозвище по какой-то бытовой привычке, которая врезалась в память окружающим.