Фамилия Нагрий — редкий случай, когда прозвище «переехало» в фамилию почти без изменений, с минимальной суффиксальной обработкой. В ней нет типичных родовых окончаний -ов или -ин, которые прикрепляли бы её к отцу или деду. Формант -ий здесь не столько суффикс, сколько окончание прилагательного, которое застыло в мужском роде. Это значит, что фамилию дали напрямую от прозвища Нагрий — человеку, которого так называли при жизни.

Корень восходит к древнерусскому глаголу «нагрѣти» — нагреть, согреть, или к прилагательному «нагрый» (в диалектах — горячий, пылкий, вспыльчивый). В украинских и южнорусских говорах «нагрий» могло означать «наглый» в старом значении — внезапный, дерзкий, стремительный, а не только современное «бесстыжий». Так что предок-носитель этой фамилии, скорее всего, получил её за характер: либо за горячность и вспыльчивость, либо за резкость и напористость.

Интересно, что фамилия Нагрий встречается почти исключительно на западе Украины и в прилегающих областях Польши — в исторической Галиции. Это наводит на мысль, что прозвище могло возникнуть в украинской языковой среде, где «нагрий» как «наглый» или «дерзкий» было в ходу. В русских переписных книгах XVII–XVIII веков она не фиксируется, что подтверждает её локальный, западнорусский или малороссийский ареал.

Сравните с однокоренными фамилиями: Нагребельный (от «нагребать» — сгребать сено) или Нагродский (от названия села Нагроды). У них прозрачная географическая или профессиональная привязка. Нагрий же — чисто характерологическая фамилия, без намёка на ремесло или место жительства. Это редкий для восточнославянской ономастики случай, когда личное качество стало фамилией почти без грамматических переделок.

По сословной принадлежности сказать нечего — данных нет. Но судя по модели образования (бессуффиксная, от прозвища), носители Нагрий относились к непривилегированным слоям: крестьянам или казакам. Фамилии такого типа редко встречаются у дворянства, где предпочитали формы на -ский или -ов.