Фамилия Накрошаева — женская форма фамилии Накрошаев. Её основа — прозвище или неканоническое имя Накрошай. Чтобы понять, что оно означало, разбираем слово по частям.

Корень здесь — «крош-», тот же, что в глаголе «крошить», «раскрошить». Приставка «на-» в русских прозвищах часто придаёт действию значение завершённости или избытка: «накрошить» — значит накрошить много, вдоволь. Перед нами типичная модель для прозвища, данного за характерное действие или манеру поведения. Накрошаем могли назвать человека, который, например, крошил хлеб в похлёбку, работал с чем-то сыпучим (на мельнице, при заготовке кормов) или даже за столом слишком мелко крошил еду. Суффикс «-ай» в именах и прозвищах (ср. Ломай, Стреляй, Бросай) образует активные, «делательные» прозвища, часто с оттенком насмешки или указанием на привычку.

В ономастике такая модель нечаста. Фамилии на «-аев» обычно происходят от тюркских основ (Алёнаев, Булганаев), но здесь исходно славянский глагол. Это косвенно говорит о том, что фамилия могла возникнуть в среде, где сохранялась живая диалектная лексика и традиция давать прозвища по действию, а не по профессии. Сословно: Накрошаевы — почти наверняка крестьянская фамилия. В дворянских родословных книгах она не встречается, в купеческих — крайне редка. Географически фамилия тяготеет к северо-востоку Европейской России — её фиксируют в Вятской, Пермской, Костромской губерниях, а также у староверов. Это зона, где архаичные прозвища дольше держались в быту.

Вторая, менее вероятная версия — от названия ремесла. В некоторых говорах «накрошить» означало «нарезать мелко кожу» при сапожном деле. Тогда Накрошаев — сын сапожника, который занимался раскройкой. Но это лишь догадка, словари такого значения как устойчивого не фиксируют.

Фамилия редкая. В современной России её можно встретить в Пермском крае, Кировской области и на Урале. Для человека, ищущего свои корни, это хорошая зацепка: предки скорее всего жили в северных или приуральских деревнях, занимались земледелием или мелким ремеслом, а прозвище получили от бытовой черты — привычки крошить или работы, связанной с крошевом.