Фамилия Насиковськая звучит так, будто за ней стоит польская или украинская традиция, и это верное ощущение. В первую очередь бросается в глаза суффикс -ськ- (в русской передаче часто -ск-), который в восточнославянских языках образовывал фамилии от названий мест. Такая модель была особенно распространена среди польской шляхты и украинской казацкой старшины: человек, владевший селом Насиковцы или живший в нём, получал прозвание «Насиковський», а его жена или дочь — «Насиковськая». Географическая привязка здесь — самое вероятное объяснение.

Основа фамилии — «Насик-». Это может быть либо вариант имени (например, уменьшительное от Иона или Ананий в народной форме Насик), либо, что более правдоподобно, топоним. В Польше и Западной Украине есть несколько сёл с похожими названиями: Насилув, Насихов, Насикув. Если корень связан с глаголом «насикать» (в диалектах — намочить, накапать), то прозвище могло относиться к человеку с не самой приятной привычкой, но такие прямые прозвища для фамилий на -ский редки — они скорее свойственны простым фамилиям на -ко или -енко.

Интересная деталь: написание «Насиковськая» с мягким знаком указывает на украинскую или польскую орфографию, где -ськ- передаёт мягкое произношение. В русских документах эту фамилию часто «обрусевали» до Насиковская, теряя мягкость. Если ваши предки носили именно такую форму — через «ськ» — это верный признак того, что корни фамилии лежат на территории бывшей Речи Посполитой, вероятно, на Волыни, Подолье или в Галиции. Там фамилии на -ський были массовыми и у крестьян, и у шляхты, поэтому по одной фамилии сословие предков не определить — нужны документы.

В итоге: Насиковськая — это фамилия-топоним, указывающая на происхождение из места с корнем Насик-. Она прошла через польско-украинскую модель образования и сохранила в написании память о мягком произношении, характерном для западных земель.