Фамилия Назымок — редкая, и её разговорная форма сразу же выдаёт восточный след в основе. В отличие от большинства русских фамилий, которые строятся на славянских корнях, здесь исходное слово — тюркское личное имя Назым (Назим). В арабском, персидском и тюркском языках оно означает «устроитель», «организатор» или «поэт, слагающий стихи». То есть прозвище или имя предка могло указывать на человека, который обладал даром слова или занимался упорядочиванием чего-либо (например, был писцом или управляющим).

Ключевая особенность — суффикс -ок. В русской ономастике он встречается реже, чем стандартные -ов, -ин или -ский. В украинской и белорусской традиции -ок часто служит уменьшительным или фамильным показателем (ср. Бондарчук, Кравченко, но также и Назымок). В данном случае фамилия могла сформироваться как «сын Назыма» или «маленький Назым» — так на юго-западе России или в Малороссии адаптировали восточное имя, добавляя к нему славянский суффикс. Это типичный пример того, как пришлое имя «обрусевало» через просторечное окончание.

Географически фамилия тяготеет к регионам, где исторически плотно соприкасались славянское и тюркское население: юг России, Поволжье, а также территории современной Украины. Встречается она и у крымских татар, и у потомков казаков, и у русских, чьи предки служили в пограничных крепостях или имели татарские корни. Сословно носители фамилии в основном были крестьянами или казаками — дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано.

В написании возможна путаница: в старых метриках фамилию могли записать как Назимок, Назымков или даже Назимов (по аналогии с более известной фамилией). Но именно форма с -ок — самая редкая и локальная. Если ваш предок носил фамилию Назымок, он, скорее всего, происходил из среды, где имя Назым давали в честь поэта или уважаемого старейшины, а при переходе в русскоязычную среду это имя превратилось в прозвище, закрепившееся за родом.